Sábado, 9 de Fevereiro de 2008

Pesadelo Geométrico

 

Este desafio foi retirado de siteProfcardy. Recomenda-se. Trata-se de um site de matemática muito interessante para quem gosta de matemática, para quem gosta de pensar, de raciocinar. Boa sorte... este não é fácil, mas espero que o tentem resolver... ;)

sinto-me:

publicado por Filipa Monteiro às 23:22
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10 comentários:
De Thiago a 27 de Fevereiro de 2010 às 02:43
consegui..

mas realmente demorei dias..hehe

primeiro achei um polinômio de quarto grau..

como não consegui achar as raízes tive de encontrar outro modo..


De marcos a 7 de Abril de 2010 às 14:25

como vc conseguiu resolver....


De Thiago Guntzel a 16 de Abril de 2010 às 21:10
Vai ser um pouco complicado explicar pelo pc, mas vou tentar...

Meu quadrado esta disposto da seguinte forma:

B C

F

A D E

primeiro chamemos DF de Y.

pelo teorema de Pitágoras temos que:

X2 + Y2 = 1 ( X2 e Y2 são X ao quedrado e Y ao quedrado, respectivamente)



agora usemos as relações de semelhança existentes entre o triângulo FDE e o ABE.

temos que FD/DE = BA/AE, logo:

Y/X = 1/1+X

desenvolvendo a iqualdade acima:

XY = X - Y


Pronto temos agora as duas iqualdades de que precisamos.

Nos é conveniente agora transformar "X2 + Y2", que esta presente na igualdade que conseguimos pelo teorema de Pitágoras, em "(X - Y)2"( X menos Y ao quadrado). O motivo veremos mais tarde...

sabemos que:

(X - Y)2 = X2 + Y2 - 2XY

Façamos o seguinte subtraiamos 2XY dos dois lados da igualdade X2 + Y2 = 1, obtendo:

X2 + Y2 - 2XY = 1 - 2XY

que é o mesmo que:

(X - Y)2 = 1 - 2XY

e como ja sabemos que X - Y = XY, temos que:

(XY)2 = 1 - 2XY

obs: "(XY)2" significa (XY) ao quadrado.

substituamos agora "XY", na equação acima, por um incógnita qualquer como, por exemplo, "Z", obtendo disso:

Z2= 1 - 2Z (Z2 significa Z ao quadrado...)

achando as raizes da equação temos:

Z = §2§ - 1 ou Z = -§2§ - 1

obs:o que estiver entre dois "§" esta dentro de uma raiz quadrada. Ex.: §2§ significa raiz quadrada de dois.

como Z= XY e X e Y são distancias, X e Y tem de ser positivos. Logo, XY não pode ser negativo:

Z = XY = §2§ - 1

substituamos agora XY na equação XY = X - Y:

§2§ - 1 = X - Y

isolando "Y"...

Y = X - §2§ + 1


substituindo Y na equação ja conhecida X2 + Y2 = 1, e desenvolvendo a iqualdade, teremos:

X2 + (-§2§ + 1)X + 1 - §2§

cuja raiz positiva(única que atende o problema) é:

X = §2§ - 1 §(2§2§ - 1)§ / 2

que é aproximadamente: 0,8832035

Espero q tenha dado pra entender a explicação pelo pc msm...

Fiquem com Deus

Abraço





















De Thiago Guntzel a 2 de Maio de 2010 às 01:42
obs: a figura do quadrado q tentei fazer ficou totalmente deformada, então esqueçam esse desenho.

Abraço


De Daniel Corrêa a 14 de Abril de 2010 às 01:25
As soluções (aproximadas com 3 dígitos) são
x = 0,883
DF = 0,469
FC = 0,531
BF = 1,132
Ângulo DEF = FBC = 27,924 graus (27 55' 26,4")
Ângulo DFE = BFC = 62,076 graus (62 04' 33,6")

Maiores detalhes, me escreva (dcorrea2004@gmail.com)


De Edward Landi Tonucci a 24 de Abril de 2010 às 21:52
Amigo, se você não colocar a figura, da forma que está redigido este problema possuirá infinitas soluções, pois E pode estar do lado do A ou do D, e o pior, pode estar em qualquer direção.

Por exemplo, posso colocar o E à uma distâcia de A de 10cm e o FD ter um comprimento, também posso colocá-lo com 20cm e FD ter outro.

Visitei o site original e lá tem a figurinha.
Dos dois, um. Ou você coloca a figura ou especifica que F está entre C e D.

Quem respondeu sem essa informação, me desculpe, mas está fazendo uma enrolação só, ou supôs que o F estava entre C e D, dessa forma você colocou mais hipótese do que a questão ofereceu.



De Edward Landi Tonucci a 24 de Abril de 2010 às 21:54
Corrigindo, eu disse qualquer direção, o correto seria qualquer distância.


De Edward Landi Tonucci a 24 de Abril de 2010 às 22:16
Agora estou com preguiça de calcular essa equação do 4º grau, mas a solução é uma das suas raízes.

A equação é a seguinte:

Chamando FC de a temos que

a^4 - 2a^3 +a^2 -2a +1 =0

Uma destas soluções deverá ser substituida na equação

x^2 - 2a + a^2 = 0

onde x = DE.

Desculpem minha preguiça...


De Thiago Guntzel a 2 de Maio de 2010 às 02:20
Edward, concordo com o que vc disse acima, pois também resolvi usando a figura original do site, que tentei sem sucesso reproduzir no meu comentário anterior. Fiquei curioso com a sua resolução. Na primeira vez q tentei, cheguei também num polinômio de 4º grau, mas a incógnita era já o próprio X. Como não sabia achar as raízes de tal polinômio resolvi recomeçar do zero e pensar numa outra solução e consegui resolver usando somente equações de 2º grau (resolução q postei acima). Mas nessa resolução com um polinômio e uma equação do segundo grau eu não tinha pensado, que raciocínio vc usou pra chegar nela?

Obrigado pela atenção.


De Diego a 14 de Novembro de 2013 às 17:53
eu sou só um novato mas sempre gostei de matemática e desafios mas fui tentar sair ela por areas depois de achar todas as medidas em função de x, e igualaria a área do trapezio mais a do triangulo pequeno dando a do novo triangulo grande.
Na lógica deveria dar certo no entanto quando faço isso da resposta impossivel como se o valor fosse 0 ou um valor negativo provavelmente devo ter errado em outro se for possível gostaria q alguém me ajudasse por favor para resolver desse jeito.
pelo menos na teoria daria certo :s


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