Mat Mat MATEMÁTICA
Matemática, ensino e eu...
Sábado, 9 de Fevereiro de 2008
Pesadelo Geométrico
Este desafio foi retirado de siteProfcardy. Recomenda-se. Trata-se de um site de matemática muito interessante para quem gosta de matemática, para quem gosta de pensar, de raciocinar. Boa sorte... este não é fácil, mas espero que o tentem resolver... ;)
sinto-me: 
tags: desafio, matemática
De Thiago a 27 de Fevereiro de 2010 às 02:43
consegui..
mas realmente demorei dias..hehe
primeiro achei um polinômio de quarto grau..
como não consegui achar as raízes tive de encontrar outro modo..
mas realmente demorei dias..hehe
primeiro achei um polinômio de quarto grau..
como não consegui achar as raízes tive de encontrar outro modo..
De Thiago Guntzel a 16 de Abril de 2010 às 21:10
Vai ser um pouco complicado explicar pelo pc, mas vou tentar...
Meu quadrado esta disposto da seguinte forma:
B C
F
A D E
primeiro chamemos DF de Y.
pelo teorema de Pitágoras temos que:
X2 + Y2 = 1 ( X2 e Y2 são X ao quedrado e Y ao quedrado, respectivamente)
agora usemos as relações de semelhança existentes entre o triângulo FDE e o ABE.
temos que FD/DE = BA/AE, logo:
Y/X = 1/1+X
desenvolvendo a iqualdade acima:
XY = X - Y
Pronto temos agora as duas iqualdades de que precisamos.
Nos é conveniente agora transformar "X2 + Y2", que esta presente na igualdade que conseguimos pelo teorema de Pitágoras, em "(X - Y)2"( X menos Y ao quadrado). O motivo veremos mais tarde...
sabemos que:
(X - Y)2 = X2 + Y2 - 2XY
Façamos o seguinte subtraiamos 2XY dos dois lados da igualdade X2 + Y2 = 1, obtendo:
X2 + Y2 - 2XY = 1 - 2XY
que é o mesmo que:
(X - Y)2 = 1 - 2XY
e como ja sabemos que X - Y = XY, temos que:
(XY)2 = 1 - 2XY
obs: "(XY)2" significa (XY) ao quadrado.
substituamos agora "XY", na equação acima, por um incógnita qualquer como, por exemplo, "Z", obtendo disso:
Z2= 1 - 2Z (Z2 significa Z ao quadrado...)
achando as raizes da equação temos:
Z = §2§ - 1 ou Z = -§2§ - 1
obs:o que estiver entre dois "§" esta dentro de uma raiz quadrada. Ex.: §2§ significa raiz quadrada de dois.
como Z= XY e X e Y são distancias, X e Y tem de ser positivos. Logo, XY não pode ser negativo:
Z = XY = §2§ - 1
substituamos agora XY na equação XY = X - Y:
§2§ - 1 = X - Y
isolando "Y"...
Y = X - §2§ + 1
substituindo Y na equação ja conhecida X2 + Y2 = 1, e desenvolvendo a iqualdade, teremos:
X2 + (-§2§ + 1)X + 1 - §2§
cuja raiz positiva(única que atende o problema) é:
X = §2§ - 1 §(2§2§ - 1)§ / 2
que é aproximadamente: 0,8832035
Espero q tenha dado pra entender a explicação pelo pc msm...
Fiquem com Deus
Abraço
Meu quadrado esta disposto da seguinte forma:
B C
F
A D E
primeiro chamemos DF de Y.
pelo teorema de Pitágoras temos que:
X2 + Y2 = 1 ( X2 e Y2 são X ao quedrado e Y ao quedrado, respectivamente)
agora usemos as relações de semelhança existentes entre o triângulo FDE e o ABE.
temos que FD/DE = BA/AE, logo:
Y/X = 1/1+X
desenvolvendo a iqualdade acima:
XY = X - Y
Pronto temos agora as duas iqualdades de que precisamos.
Nos é conveniente agora transformar "X2 + Y2", que esta presente na igualdade que conseguimos pelo teorema de Pitágoras, em "(X - Y)2"( X menos Y ao quadrado). O motivo veremos mais tarde...
sabemos que:
(X - Y)2 = X2 + Y2 - 2XY
Façamos o seguinte subtraiamos 2XY dos dois lados da igualdade X2 + Y2 = 1, obtendo:
X2 + Y2 - 2XY = 1 - 2XY
que é o mesmo que:
(X - Y)2 = 1 - 2XY
e como ja sabemos que X - Y = XY, temos que:
(XY)2 = 1 - 2XY
obs: "(XY)2" significa (XY) ao quadrado.
substituamos agora "XY", na equação acima, por um incógnita qualquer como, por exemplo, "Z", obtendo disso:
Z2= 1 - 2Z (Z2 significa Z ao quadrado...)
achando as raizes da equação temos:
Z = §2§ - 1 ou Z = -§2§ - 1
obs:o que estiver entre dois "§" esta dentro de uma raiz quadrada. Ex.: §2§ significa raiz quadrada de dois.
como Z= XY e X e Y são distancias, X e Y tem de ser positivos. Logo, XY não pode ser negativo:
Z = XY = §2§ - 1
substituamos agora XY na equação XY = X - Y:
§2§ - 1 = X - Y
isolando "Y"...
Y = X - §2§ + 1
substituindo Y na equação ja conhecida X2 + Y2 = 1, e desenvolvendo a iqualdade, teremos:
X2 + (-§2§ + 1)X + 1 - §2§
cuja raiz positiva(única que atende o problema) é:
X = §2§ - 1 §(2§2§ - 1)§ / 2
que é aproximadamente: 0,8832035
Espero q tenha dado pra entender a explicação pelo pc msm...
Fiquem com Deus
Abraço
De Thiago Guntzel a 2 de Maio de 2010 às 01:42
obs: a figura do quadrado q tentei fazer ficou totalmente deformada, então esqueçam esse desenho.
Abraço
Abraço
De Daniel Corrêa a 14 de Abril de 2010 às 01:25
As soluções (aproximadas com 3 dígitos) são
x = 0,883
DF = 0,469
FC = 0,531
BF = 1,132
Ângulo DEF = FBC = 27,924 graus (27 55' 26,4")
Ângulo DFE = BFC = 62,076 graus (62 04' 33,6")
Maiores detalhes, me escreva (dcorrea2004@gmail.com)
x = 0,883
DF = 0,469
FC = 0,531
BF = 1,132
Ângulo DEF = FBC = 27,924 graus (27 55' 26,4")
Ângulo DFE = BFC = 62,076 graus (62 04' 33,6")
Maiores detalhes, me escreva (dcorrea2004@gmail.com)
De Edward Landi Tonucci a 24 de Abril de 2010 às 21:52
Amigo, se você não colocar a figura, da forma que está redigido este problema possuirá infinitas soluções, pois E pode estar do lado do A ou do D, e o pior, pode estar em qualquer direção.
Por exemplo, posso colocar o E à uma distâcia de A de 10cm e o FD ter um comprimento, também posso colocá-lo com 20cm e FD ter outro.
Visitei o site original e lá tem a figurinha.
Dos dois, um. Ou você coloca a figura ou especifica que F está entre C e D.
Quem respondeu sem essa informação, me desculpe, mas está fazendo uma enrolação só, ou supôs que o F estava entre C e D, dessa forma você colocou mais hipótese do que a questão ofereceu.
Por exemplo, posso colocar o E à uma distâcia de A de 10cm e o FD ter um comprimento, também posso colocá-lo com 20cm e FD ter outro.
Visitei o site original e lá tem a figurinha.
Dos dois, um. Ou você coloca a figura ou especifica que F está entre C e D.
Quem respondeu sem essa informação, me desculpe, mas está fazendo uma enrolação só, ou supôs que o F estava entre C e D, dessa forma você colocou mais hipótese do que a questão ofereceu.
De Edward Landi Tonucci a 24 de Abril de 2010 às 21:54
Corrigindo, eu disse qualquer direção, o correto seria qualquer distância.
De Edward Landi Tonucci a 24 de Abril de 2010 às 22:16
Agora estou com preguiça de calcular essa equação do 4º grau, mas a solução é uma das suas raízes.
A equação é a seguinte:
Chamando FC de a temos que
a^4 - 2a^3 +a^2 -2a +1 =0
Uma destas soluções deverá ser substituida na equação
x^2 - 2a + a^2 = 0
onde x = DE.
Desculpem minha preguiça...
A equação é a seguinte:
Chamando FC de a temos que
a^4 - 2a^3 +a^2 -2a +1 =0
Uma destas soluções deverá ser substituida na equação
x^2 - 2a + a^2 = 0
onde x = DE.
Desculpem minha preguiça...
De Thiago Guntzel a 2 de Maio de 2010 às 02:20
Edward, concordo com o que vc disse acima, pois também resolvi usando a figura original do site, que tentei sem sucesso reproduzir no meu comentário anterior. Fiquei curioso com a sua resolução. Na primeira vez q tentei, cheguei também num polinômio de 4º grau, mas a incógnita era já o próprio X. Como não sabia achar as raízes de tal polinômio resolvi recomeçar do zero e pensar numa outra solução e consegui resolver usando somente equações de 2º grau (resolução q postei acima). Mas nessa resolução com um polinômio e uma equação do segundo grau eu não tinha pensado, que raciocínio vc usou pra chegar nela?
Obrigado pela atenção.
Obrigado pela atenção.
De Diego a 14 de Novembro de 2013 às 17:53
eu sou só um novato mas sempre gostei de matemática e desafios mas fui tentar sair ela por areas depois de achar todas as medidas em função de x, e igualaria a área do trapezio mais a do triangulo pequeno dando a do novo triangulo grande.
Na lógica deveria dar certo no entanto quando faço isso da resposta impossivel como se o valor fosse 0 ou um valor negativo provavelmente devo ter errado em outro se for possível gostaria q alguém me ajudasse por favor para resolver desse jeito.
pelo menos na teoria daria certo :s
Na lógica deveria dar certo no entanto quando faço isso da resposta impossivel como se o valor fosse 0 ou um valor negativo provavelmente devo ter errado em outro se for possível gostaria q alguém me ajudasse por favor para resolver desse jeito.
pelo menos na teoria daria certo :s
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